sigma-algebras

Problem-solving strategies for sigma algebras in measure theory

1. Zainstaluj skill w swoim środowisku Claude, dodając go do katalogu .claude/skills/math/measure-theory/. Upewnij się, że masz dostęp do narzędzi Bash i Read.

2. Gdy pracujesz nad problemem dotyczącym sigma-algebr, zacznij od weryfikacji aksjomatów. Sprawdź, czy całą przestrzeń X zawiera sigma-algebra F, czy jest zamknięta na dopełnienia oraz na przeliczalne sumy. Użyj komendy: uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "X_in_F and closed_under_complement and closed_under_countable_union"

3. Jeśli pracujesz z generowaniem sigma-algebr, rozpocznij od kolekcji generującej C i znajdź najmniejszą sigma-algebrę ją zawierającą. Zastosuj twierdzenie pi-lambda Dynkina do weryfikacji jednoznaczności: uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "pi_system_subset_lambda implies sigma_equal"

4. Do sprawdzenia mierzalności funkcji f, zweryfikuj, że dla wszystkich zbiorów Borelowskich B preimage f^{-1}(B) należy do sigma-algebry F. Wystarczy sprawdzić dla zbiorów otwartych lub przedziałów. Użyj: uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py simplify "preimage(f, interval)"

5. W przypadku pracy z produktami sigma-algebr, pamiętaj, że F1 × F2 jest sigma-algebrą generowaną przez prostokąty A × B, gdzie A należy do F1 i B należy do F2. Skill automatycznie weryfikuje mierzalność projekcji.

6. Wybierz odpowiednią komendę na podstawie typu problemu (aksjomaty, generowanie, mierzalność), uruchom ją w swoim środowisku i przeanalizuj wyniki zwrócone przez Z3 lub SymPy.