open-sets

Problem-solving strategies for open sets in topology

1. Zainstaluj umiejętność w swoim środowisku Claude, dodając ją do katalogu skills. Upewnij się, że masz dostęp do interpretera Pythona i narzędzia uv do uruchamiania skryptów.

2. Określ typ problemu, który rozwiązujesz: weryfikacja otwartości zbioru, testowanie ciągłości funkcji, czy analiza właściwości topologicznych (wnętrze, domknięcie, brzeg). Umiejętność oferuje dedykowane strategie dla każdego z nich.

3. Dla weryfikacji otwartości w przestrzeniach metrycznych sprawdź, czy dla każdego punktu x ze zbioru U istnieje epsilon > 0 takie, że kula B(x, epsilon) zawiera się w U. Uruchom solver Z3 poleceniem: uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "ball_contained" z odpowiednimi świadkami epsilon.

4. Do testowania ciągłości funkcji f: X → Y wybierz metodę zależną od typu przestrzeni. W przestrzeniach metrycznych sprawdź, czy x_n → x implikuje f(x_n) → f(x). W przestrzeniach ogólnych zweryfikuj, czy obrazy odwrotne zbiorów otwartych są otwarte, używając: uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "preimage_open".

5. Dla bardziej zaawansowanych testów ciągłości zastosuj warunek epsilon-delta: dla każdego epsilon > 0 istnieje delta > 0 takie, że d(x, a) < delta implikuje d(f(x), f(a)) < epsilon. Uruchom: uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "epsilon_delta_bound".

6. Przeanalizuj wyniki zwrócone przez solver Z3. Jeśli dowód się powiedzie, otrzymasz potwierdzenie właściwości topologicznej. W przypadku niepowodzenia przejrzyj założenia i parametry, a następnie dostosuj zapytanie do solvera.